FEM-Analyse einer Gewölbebrücke mit

FEM-System MEANS V8

Teil 2: Berechnung mit Balken- und Schalenmodell

Es wird eine Gewölbebrücke aus Ziegelmauerwerk berechnet. Sie besteht aus elf Bögen mit lichten Weiten von 14.8 m. Die Gesamtlänge der Brücke beträgt etwa 200 m und die Gewölbebreite 11.5 m. Die Pfeiler sind fest im Bodengrund verankert so daß hier von einer 100% igen Einspannung ausgegangen werden kann.

Für die FEM-Analyse werden drei Bögen in Längsrichtung betrachtet wobei der mittlere Bogen mit einem Kran von ca. 30 Tonnen belastet wird.

Da Mauerwerke nur Druckspannungen aufnehmen können gilt die Annahme, daß die Zugzone erst ab einer Zugspannung von etwa 0.5 N/mm²aufreißt.

Alle Abmessungen und Materialdaten sind unverändert aus dem Internet-Bericht:

http://www.tu-dresden.de/biwitb/mbau/download/06bbs_09.pdf übernommen, bis aus die nicht angegebene Gewölbedicke, die dann einfach aus der Abbildung nachgemessen wurde und 900 mm ergab.

Erstellung des Linienmodells mit AutoCAD

Schritt 1: Bild in AutoCAD einfügen

Kopieren Sie einfach die Abbildung auf der Seite 1 mit der Druck-Taste in die Windows-Zwischenablage. Starten Sie jetzt AutoCAD und klicken auf die rechte Maustaste, jetzt können Sie mit „Einfügen“ das Bild in AutoCAD einfügen und als Unterlage verwenden.

Schritt 2: Linienmodell nachzeichnen

Ziehen Sie mit dem 2D-Linien-Befehl „LINIE“ exakt die Kontur nach. Verwenden Sie das Mouse-Wheel-Rad um das Bild zu vergrößern und die Pan-Funktion um es zu plazieren.

Schritt 3: Linienmodell im DXF-Format abspeichern

Speichern Sie nun das gezeichnete Balkenmodell als DXF-Datei „Balken.dxf“ ab.

DXF-Datei in MEANS-SHELL einladen

Starten Sie MEANS-SHELL entweder mit dem Desktop-Icon oder von MEANS V8 mit über „Neues Projekt“ aus und wählen das Icon um die DXF-Datei Balken.dxf einzuladen.

Wählen Sie das Icon „2D“ um die Balkenstruktur aus AutoCAD in der XY-Ebene darzustellen.

Knoten-Überlagerungen löschen

Wählen Sie das Icon um die Knotennumerierung und die Knotenfarbe mit „2“ einzuschalten.

Wählen Sie zuerst das Icon und dannach in der Iconleiste für Netzgenerierung das Icon und geben einen Fangradius von 0.8 ein Wählen Sie den Button „Kleine Strukturen“ um das Modell von 54 Knoten auf 28 Knoten zu reduzieren. Falls noch immer Knoten-überlagerungen übrig sein sollten muß der Fangradius schrittweise erhöht werden.

Skalierung auf die Original-Abmessungen

Das Modell besitzt nur relative Koordinaten, die Original-Abmessungen entsprechend der Abbildung auf der Seite 1 werden erzeugt indem die Koordinaten mit einem Skalierungsfaktor in X- und Y-Richtung multipliziert werden.

Skalierungsfaktor in X-Richtung

Die Original-Breite zwischen Knoten 1 und 28 beträgt 52.6 m bzw. 52 600 mm

Die aktuelle Breite beträgt:

Knoten 1: X = 1804.66 mm

Knoten 28: X = 2627.36 mm

Differenz = 822.7 mm

52 600

Der Skalierungsfaktor in X-Richtung beträgt somit: ---------- = 63.93

822.7

Skalierungsfaktor in Y-Richtung

Die Original-Höhe zwischen Knoten 1 und 8 beträgt 7.08 m bzw. 7080 mm

Die aktuelle Höhe beträgt:

Knoten 1: Y = 957.5 mm

Knoten 8: Y = 1066.34 mm

Differenz = 108.84 mm

7080

Der Skalierungsfaktor in Y-Richtung beträgt somit: ---------- = 65.05

108.84

Wählen Sie nun das Menü „FEM-Projekt bearbeiten“ und „Knotenkoordinaten“ und „Koordinatenfaktor eingeben“ und skalieren in zwei Schritten die Knotenkoordinaten. Ebenfalls führen Sie in Schritt 2 eine Nullpunktsverschiebung durch Knoten 1 durch.

Linienmodell verfeinern

Wählen Sie das Icon um die Iconleiste für Netzmanipulationen anzuzeigen. Wählen Sie in dieser das Icon um Linien und Balken zu zerlegen bzw. zu verfeinern.

Wählen Sie Anzahl Linienpunkte = 9 für alle Linien-/Balkenelemente aus und erhalten ein neues Balkenmodell mit 216 Balkenelementen und 217 Knotenpunkten.

Erzeugung der Elementgruppen

Starten Sie mit dem Icon die Iconleiste für Elementgruppen und markieren Sie mit „Gruppe 1“ und „Gruppe 2“ die beiden inneren Pfeiler zur Elementgruppe 2 und die beiden äußeren Pfeiler zur Elementgruppe 3.

FEM-Balkenstruktur erzeugen

Speichern Sie nun das Linienmodell unter dem Namen „Balken.lin“ auf der Festplatte ab. Um das FEM-Balkenmodell zu erzeugen laden Sie jetzt entweder das abgespeicherte Linienmodell Balken.lin als FEM-Modell wieder in NETGEN ein oder Sie wandeln mit dem Icon das Linienmodell in ein BEAM2-Strukturmodell um. Klicken Sie auf „FEM“ um zu prüfen ob sich das Modell auch im FEM-Arbeitsspeicher befindet.

Belastung erzeugen

Der mittlere Brückenbogen wird mittig mit einem Kran belastet, dieser hat eine Achslast von jeweils 15 Tonnen, dies entspricht einer Gesamtbelastung von 300 kN.

Wählen Sie das Icon um die Iconleiste für Belastungen anzuzeigen. Wählen Sie das Icon und „Knotenlast“ um die Belastung von 300 000 N in Y-Richtung einzugeben.

Klicken Sie jetzt auf den Knoten 125, dieser wird in der Select-Box angezeigt. Wählen Sie dort „Erzeugen“ um die Knotenlast zu erzeugen.

Randbedingungen erzeugen

Die Brücke ist unten an den 4 Pfeilern fest eingespannt. In der Iconleiste für Randbedingungen klicken Sie auf die oberen 3 Icons um die Pfeiler in X-, Y- und Z-Richtung fest einzuspannen. Wählen Sie „Erzeugen“ und selektieren die Knoten mit einem aufgespannten Rechteck wie unten zu sehen ist.

Ebenfalls verhindern Sie eine X-Verschiebung in den Knoten 11 und 36.

Materialdaten eingeben

Das Mauerwerk der Gewölbebrücke besteht aus Ziegel und Mörtel mit einem E-Modul von 12 000 N/mm² und einer Poisson-Zahl von 0.15. Der Brückenquerschnitt ist 11 500 mm mit 3 Elementgruppen: Elementgruppe 1: drei Brückenbogen mit einer Breite von 900 mm

Elementgruppe 2: Pfeiler in der Mitte mit einer Breite von 2800 mm

Elementgruppe 3: äußere Pfeiler mit einer Breite von 5200 mm

Eingabe der Elementgruppe 1

Wählen Sie „FEM-Projekt bearbeiten“ und „Materialdaten“ und „Balkenprofile“ und wählen die Profilgruppe 3 für Rechteckprofile aus. Geben Sie hier eine Höhe von 11500 mm und einer Breite von 900 mm ein. Nach „Profildaten berechnen“ werden Querschnittsfläche A und die Trägheitsmomente IY, IZ und IT sowie die Randfaserabstände für die Spannung RZ und RY automatisch berechnet und angezeigt.

Eingabe der Elementgruppe 2-3

Die Pfeiler haben die gleichen Materialdaten wie Gruppe 1 bis auf die Breite von 2800 mm für die mittleren Pfeiler und die Breite von 5200 mm für die äußeren Pfeiler.

FEM-Analyse

Das FEM-Modell ist vollständig erzeugt und kann berechnet werden. Speichern Sie das 3D-Balken-Modell in Ihrem Projekt-Verzeichnis unter „Brücke_mit_BEAM2.FEM“ oder anderem beliebigen Namen ab.

Wählen Sie das Menü „FEM-Analyse“ und wieder „FEM-Analyse“ und „Schritt 1: FEM-Analyse starten“ aus um die Verformungen und Spannungen zu berechnen.

Nach der FEM-Analyse wählen Sie „Schritt 2: Postprozessor starten“ um die Ergebnisse grafisch auszuwerten. Oder Sie wählen nach der FEM-Analyse das Icon. Es erscheint die Dialogbox für die Ergebnisauswertung der Verformungen und Spannungen.

Ergebnisauswertung Balken-Modell

Ein Vergleich aus dem Jahre 1995 ergab eine gute Übereinstimmung zwischen der vom Tiefbauamt Magdeburg gemessenen und der vom FEM-System ANTRAS berechneten Verformung. Die Verformungen von MEANS V8 stimmen ebenfalls sehr gut überein.

Für den 3D-Balken stehen folgende Ergebnisauswertungen zur Verfügung

-Darstellung der Verformungen in X-, Y- und Z-Richtung

-Darstellung der Biegespannungen SIGM1, SIGM2, SIGM3, SIGM4

und der Schubspannung TAU

Darstellung der gemittelten Knotenspannungen v. Mises (gilt jedoch nur für gleichmäßige Querschnitte):

Darstellung der ungemittelten Elementspannungen bzw. der lokalen Schnittgrößen

M, Q und N (zur Zeit nur in der XY-Ebene möglich).

Verformungen in Y-Richtung:

max. Verformung = 0.531 mm (überhöht dargestellt mit Verformungsfaktor = 1000)

Verformungen in X-Richtung:

An den mittleren Pfeilern ensteht eine max. Verformung in X-Richtung von 0.118 mm

v.Mises-Vergleichsspannung

Die gemittelte max. Knotenvergleichsspannung beträgt = 0.32 N/mm²

Normalkraft N, max. Wert = 275 670 N = 275,67 kN

Biegemoment MBZ, max. Wert = 568040000 Nmm = 568 kNm

Querkraft Qy, max. Wert = 151 730 N = 151,7 kN

Berechnung der Normalspannung (Membranspannung) aus der Normalkraft

Normalspannung = Normalkraft / Querschnittsfläche

= 275 670 N / 10 350 000 mm²

= 0.02 N/mm²

Berechnung der Biegespannung aus dem Biegemoment

Biegespannung = Biegemoment MBZ / Trägheitsmoment Iz * Breite

= 568 040 000 Nmm / 21 037 330 000 000 mm⁴ * 11 500 mm

= 0.31 N/mm²

Berechnung der Schubspannung aus der Querkraft

Schubspannung = Querkraft / Querschnittsfläche

= 151 730 N / 10 350 000 mm²

= 0.014 N/mm²

FEM-Schalen-Modell erzeugen

Schalenmodell mit Z-Erhebung erzeugen

Entweder Sie laden das abgespeicherte Linienmodell balken.lin als FEM-Modell wieder ein oder Sie wandeln mit das Linienmodell in ein BEAM2-Strukturmodell um.

Es folgt mit dem Icon eine Z-Erhebung, geben Sie eine Netzdichte in Z-Richtung = 15 und eine Z-Erhebung = 11500 ein. Wählen Sie den Schalen-Elementtyp „SDK4“ und generieren ein SDK4-Schalenmodell bestehend aus 3255 Knoten und 3024 Schalen.

Wählen Sie die 3D-Ansicht aus sowie die Darstellung „Hidden-Line mit Elementgruppen“

Belastung erzeugen

Der mittlere Brückenbogen wird mittig mit einem Kran belastet, dieser hat eine Achslast von 15 Tonnen auf Vorder- und Hinterachse, dies entspricht einer Gesamtbelastung von 300 kN.

Berechnung der Knotenlast: Anzahl Knoten in Z-Richtung = 15

Knotenlast = 300000 N / 15 = 20000 N

Wählen Sie das Icon um die Iconleiste für Belastungen anzuzeigen. Wählen Sie das Icon und „Knotenlast“ um die Belastung von -20 000 N in Y-Richtung einzugeben.

Vergrößern Sie am besten den mittleren Bogen mit dem Icon und spannen über die 15 mittigen Knoten ein Rechteck auf. Mit „Erzeugen“ in der Select-Box wird die Knotenlast erzeugt.

Randbedingungen erzeugen

Die Brücke ist unten an den 4 Pfeilern fest eingespannt. In der Iconleiste für Randbedingungen klicken Sie auf die oberen 3 Icons um die Pfeiler in X-, Y- und Z-Richtung fest einzuspannen. Wählen Sie „Erzeugen“ und spannen ein Rechteck über die Pfeiler am unteren Ende auf.

Ebenfalls sperren Sie die X-Verschiebungen am oberen Ende der beiden äußeren Pfeiler.

Materialdaten eingeben

Wie bereits beschrieben besteht die Gewölbebrücke aus Ziegel und Mörtel mit einem E-Modul von 12 000 N/mm² und einer Poisson-Zahl von 0.15.

Materialdaten für Elementgruppe 1,2 und 3:

Das Schalenmodell ist jetzt vollständig erstellt und kann im Projekt-Verzeichnis unter dem Namen „Brücke_SDK4.fem“ abgespeichert und mit einer

FEM-Analyse berechnet werden.

Ergebnisauswertung Schalenmodell

Verformungen in Y-Richtung:

max. Verformung = -0.562 mm (überhöht dargestellt mit Verformungsfaktor =1000)

v.Mises-Biegespannung

max. v.Mises-Biegespannung = 0.31 N/mm²